Зависимость С от частоты.

Что такое ёмкость проводника ?
Если заглянуть в любой учебник или справочник, то увидим примерно такое определение:

Q = С U (1)

И слова: заряд проводника Q пропорционален его потенциалу U. Коэффициент пропорциональности С называют ёмкостью проводника.
И всё.

Никакой зависимости от частоты здесь нет, так как ёмкость – понятие сугубо ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ. То есть пригодное исключительно к тому случаю, когда потенциал и заряд от времени не зависят (частота = 0).

Кроме того, в определении (1) молчаливо подразумевают и ещё ряд важных допущений:
1. Заряд Q откуда-то известен и никуда не стекает.
2. U известен относительно какого-то ещё потенциала, который для данного случая полагают равным 0.
3. U одинаков по всему объёму (поверхности) проводника (электростатика потому что: иначе неизбежно движение зарядов по проводнику в сторону пониженных U).

Но с первым пунктом очевидны проблемы.
А третий пункт в электродинамике просто не выполняется.

И даже в магнитостатике не всегда. Поясним это конкретным примером.
Пусть мы имеем дело с парой жил 1 мм2 (17 Ом/км) кабеля полевой шины промсвязи длиной 2 км по которым течёт (постоянный) рабочий ток 0.57 А. И пусть оконечная нагрузка 10 Ом.
Тогда на жилах падает напряжение 35.7 В, а на нагрузке 5.7 В. Так что на входе получаем разность потенциалов между жилами U = 41.4 В, а на выходе U = 5.7 В.
И какое из них прикажете подставлять в (1), чтобы вычислить С, даже если нам кто-нибудь шепнул на ухо, а какие на жилах заряды Q ?

Кто-нибудь скажет: ну так, отключить нагрузку, залить в жилы заряд Q, да успеть измерить напряжение, пока заряд не стёк сквозь изоляцию и вольтметр.
В принципе такие вольтметры есть – электрометры с входным сопротивлением порядка десятков и даже сотен гигаом и вполне приличной точностью. И если достаточно качественная изоляция.
Но вот как быть с зарядами? Их, как водичку, из-под крана не нацедишь и в стаканчике не принесёшь.

Но главное даже не это.
Когда, к примеру, имеешь дело с шинами промсвязи, то там интересны не столько величины С или L, сколько запас электрической и магнитной энергии в той шине, способный высвободиться в месте аварии: обрыве, КЗ и поджечь-подорвать горючую смесь?
И это задача - чисто электродинамическая и чем тут может быть полезно электростатическое С, ещё надо исследовать.
А что касается высокочастотных – ВЧ цифровых линий связи, то там ситуация ещё хуже ( см ниже)..

Итак, прямой метод, основанный на (1) практически не применим. И, стало быть, если есть необходимость говорить о параметре С, надо применять косвенные. О чём уже сказано в разделе

Для чего продифференцируем (1):

J = dQ/dt = C dU/dt (2)

Здесь слева – ток, который мы можем измерять с высокой точностью, а справа – производная напряжения по времени. Её тоже можем измерять с приличной точностью с помощью быстродействующих аналого-цифровых преобразователей – АЦП.
Более того, если работаем с гармоническими сигналами, то в рамках ТОЭ и прочей теории сосредоточенных цепей вообще получаем "закон Ома"

J = j w C U (3)

Собственно, все известные по ГОСТам и прочим стандартам способы измерения С кабелей основаны на применении закона (3):

C = J / jwU (4)

Но и (2) и (3) – выражения сугубо электродинамические.
То есть, такие, в которых J, U явно зависят от времени ( через множители exp(jwt), подразумеваемый при комплексных буквах J и U ) и, стало быть, от координат, то есть, не имеют определённого смысла. Стало быть, не имеет определённого смысла и величина C. Точнее, некоторый смысл всё-же есть, но об этом ниже.

Тут всё дело в уравнениях Максвелла

rot H = j + e e0 dE/dt ( закон Ампера-Максвелла) (5)
rot Е = – m m0 dН/dt ( закон Фарадея) (6)

е – диэлектрическая постоянная, m – магнитная.
е0 = 8.854188 10–12 Ф/м ; m0 = 1.256637 10–6 Гн/м

Из которых прямо следует, что если dE/dt – не нуль, то, вообще говоря, и dН/dt – не нуль и наоборот. Так что, если мы говорим о магнито- и электростатике, то обязательно про dE/dt = 0 и dН/dt = 0 одновременно.

И, стало быть, о применении закона Ампера (магнитостатика)

rot H = j

И условия потенциальности электрического поля (электростатика)

rot Е = 0

Последнее из-за того, что dН/dt = 0 обеспечивает скалярность потенциала U и, стало быть, оправданность понятия ёмкости.

Хотя тут сразу следует отметить, что коль скоро имеем дело с Фарадеем ( сиречь, индуктивностями), то уже возникают вопросы в части ёмкостей, ибо в этом случае U не является (скалярным) потенциалом.
Так что, если мы говорим об "индуктивности" кабеля, то, строго говоря, не имеем права употреблять термин "ёмкость".
И наоборот: ёмкость и индуктивность друг друга исключают.
А в проводах и кабелях – паче того: эти понятия не применимы ни вместе , ни в отдельности

Развивая эту мысль, следует также признать, что, вообще говоря не справедливы ни закон Ома, ни правила Кирхгофа, ни вообще весь аппарат теории цепей, включая старое доброе ТОЭ.
Всё это – приближения.
И потому, когда говорим, к примеру, об импедансе jwL, проводимости jwC, паразитной ёмкости входных цепей усилителя, о погонной ёмкости и индуктивности кабеля, то должны чётко представлять, о чём это. А также, в какой мере-степени ошибаемся, пользуясь всем эти математическим аппаратом.

Сначала о магнитостатике.
Запишем уравнение Максвелла для гармонического поля в проводящей среде ( j = s E ; s – проводимость).

rot H = s E + e e0 jw E

Второе слагаемое – поправка Максвелла к (магнитостатическому) закону Ампера. И, если ею пренебречь, то получается

ошибка = (e e0 w / s)² /2 = 5 10^–19

Численная оценка – для меди ( s = 5.6 10⁷ Сим/м, е = 1 ) при частоте 10⁹ Гц
Как видно, ошибка ничтожна. А чтобы стала заметной, необходимо поднять частоту до 10¹⁸ Гц. А это уже – рентген, даже не ультрафиолет.
Ошибка настолько мала, что если проводимость снизить, скажем, на 9 порядков, то и частоту можно снизить до 10⁹ Гц.
Итак, для всех более и мене проводящих сред поправкой Максвелла можно пренебречь и работать с законом Ампера.

rot H = s E

При этом, разумеется, никто не запрещает пользоваться законом Фарадея

rot Е = – m m0 jwH

Такую магнитодинамику называют квазистатическим приближением.

Теперь оценим, какую ошибку допускаем в электростатике.
То есть, когда пренебрегая производными в правых частях уравнения Максвелла.
Задача несколько упрощается тем, что коль скоро нацелены на электростатику, то, стало быть, нет токов проводимости.
Запишем уравнения Максвелла для гармонического сигнала

rot H = e e0 jw E
rot Е = – m m0 jwH

Пусть Д – характерный размер области, которую может занять электромагнитное поле – ЭМП (скажем, длина кабеля).
тогда из теории размерностей получим такие оценочные отношения:

H/Д = e e0 jw E
Е /Д = – m m0 jwH

или :
Е = – m m0 jw jw a e e0 jw E = (wД /V)² E = (2 пи Д/Л)² Е


где V² = 1/ (m m0 e e0) – скорость электромагнитного поля, Л = V/f – длина его волны, f – частота.

В левой части оценки – амплитуда ( "статического") электрического поля, в правой –"электродинамическая" к нему поправка (wД /V)2 .

ОНА И ХАРАКТЕРИЗУЕТ ЗАВИСИМОСТЬ "ЁМКОСТИ" ОТ ЧАСТОТЫ.

И тут следует особо подчеркнуть: точно такая же и для индуктивности. Впрочем, там есть и более сильные эффекты.

Таким образом, фактор

(2 пи Д/Л)² = 0.1

имеет смысл ошибки, которую мы допускаем, применяя электростатические соображения к переменным электрическим полям. В том числе, в кабелях.
Приведенное число – для Д = 300 км, f = 50 Гц , V = 3 10⁸ м/c

Таким образом, если дистанцию ЛЭП длиной 300 км мы захотим представить как некую (сосредоточенную) ёмкость и попытаемся её вычислить, просто умножая справочную "погонную ёмкость" на Д, то рискуем промахнуться на 10%. Многовато для энергоснабжения.
Получается, что обычная ЛЭП даже не самой большой длины – объект вовсе не сосредоточенный: у него нет определённой ёмкости.

И уж тем паче это касается кабелей шин промсвязи ( 32.5 КГц, 1.9 км, ошибка = 1.7). Не говоря уже о ВЧ цифровой связи (10 МГц, 100 м, ошибка = 440).

Короче, то, что разные стандарты предписывают измерять в качестве "погонной ёмкости" на частотах 10...2000 Гц, строго говоря, отношения не имеет к свойствам кабелей, от которых зависит их работа, как направляющих сред для энергии и информации.

На самом деле кабель – это просто такой композитный диэлектрик, составленный из металлических и диэлектрических деталей).

И его параметры кабелей L и C – абсолютные магнитная и диэлектрическая проницаемости этого искусственного диэлектрика.

Честно все прочитал, честно ничего не понял. Кроме что все законы туфта, все ученые - неученые, один Шерри молодец.

А теперь серьезно, куда это применить и как это поможет нам всем. Может кто переведет на русский в двух словах.

Но.
Но тут есть одно но.
Если кабель представляет собой систему параллельных жил (то есть, как указывает Бюрократ, у него есть трансляционная симметрия), то в нём могут распространяться ЭМП в форме (потенциальных) Т-волн. И для них (и пока что только для них !) справедливы телеграфные уравнения.
Свойства этого ЭМП таковы, что для него (и только для него !) можно определить и вычислить параметры L и C. Так как они входят в телеграфные уравнения и, в качестве очень удачного совпадения (?) численно равны "погонным" L и C, то есть электростатическим ёмкости и индуктивности единицы длины кабеля.

Но тот же Бюрократ задаёт резонный вопрос: а как же быть со скруткой, нарушающей трансляционную симметрию ? Заменяя её для выбранной пары винтовой ( спиральной) ? Да и то, если эта пара уединённая.

И вопрос этот открыт вот уже не одно десятилетие.
Хуже того, есть и такие кабельные "специалисты", которые отчаянно стараются замести его под ковёр.

Правда, в последние годы наметились подвижки. Например, кое-что делает журнал «Кабель-news» .

Влияние скрутки на межпроводную ёмкость витых пар и триад.
«Кабель» № 4, 2007, с. 22–29.
Влияние скрутки и других нарушений осевой симметрии кабельных конструкций на скорость распространения сигналов.
«Кабель», № 6–7, 2007, с. 48–54.
Расчёт индуктивности многопроволочных кабельных жил.
«Кабель-news» № 5, 2007, с. 31–38.

Но это – в рамках, так сказать, первого–второго приближений теории возмущений.
А вот точной теории (расчёта) нет, как нет.

Забудем пока о скрутке, чтобы применить к кабелям телеграфные уравнения. Пренебрежём и затуханием ( здесь это не принципиально).
Тогда входной импеданс разомкнутого на дальнем конце кабеля ( режим холостого хода – ХХ) может быть представлен в виде такого выражения:

Z = Z0 / jtg(kД)

Z0 = (L/C)1/2 k = w (LC)1/2 = 2 пи/Л – волновое число,

Если kД меньше 1 ( точнее, 1.57) , можно записать:

tg(kД) = kД + (kД)3/3 + ...

или

Z = 1/ j w CД [ 1 + (kД)2/3]

это – импеданс "ёмкости" CД [ 1 + (2 пи Д/Л)2 /3 ]

Как видно, качественно эта "ёмкость" совпадает с оценкой из теории размерностей. Только там при (2 пи Д/Л)2 был фактор 1. А в более точной теории ошибка получилась втрое меньше.

И ещё.
Во всех этих рассуждениях забывали о частотной зависимости диэлектрической постоянной изоляторов.
Но на самом деле это не так. Простейшая теория е ведёт к такой качественной зависимости (если пренебречь потерями):

e(f) = e(0)/[1– (f/F)2]

где e(0) – статическая постоянная, F – частота оптических и/или крутильных колебаний атомов и молекул изолятора ( типичное значение F = 1012... 1014 Гц ).
Это – диэлектрический резонанс.
Но если от него достаточно далеки, и f намного меньше F , то

e(f) = e(0)[1+ (f/F)2]

Так что е тоже растёт с частотой ( в оптике это называют нормальной дисперсией) . В добавление, к слову, к 1 + (Д/Л)2 /3.
Хотя, если резонанс F достаточно далёк, то пренебрежимо слабо.
Но вот при наличии в изоляторе тяжёлых включений (пыль, металл, наночастицы), F может оказаться опасно близким к рабочим частотам кабеля.

И за примером идти далеко не не надо. Так как величимна

F1 = V/ 2Д

– частота первого (полуволнового) резонанса кабеля. Так что получаем:

1 + (2 пи Д/Л)2 /3 = 1 + (f/F1)2 пи2 /3

И, если кабель рассматривать, как искусственный диэлектрик, то включение в него металлических жил не проходит безнаказанно: появляется спектр собственных полуволновых низкочастотных диэлектрических резонансов: F1, F2 = 2 F1 ...

Так что, когда кто-то категорически утверждает, что-де ёмкость от частоты не зависит, и баста, не обращая внимание не на какие возражения по существу, то:

- либо говорит банальность (не зависит, потому что частота не меняется и равна 0),

- либо такой из себя "спец", что не способен понять смысл понятия "ёмкость" при работе с переменными токами и напряжениями, сиречь , не знает и азы электродинамики,

- либо с какой-то целью пытается водить за нос не достаточно опытную и начитанную кабельную общественность.

Не все, а те, что впаривают кабельыне шарлатаны в качетве нерперекаемой истины. .

2. Не всае ,а те, кое-кто из тех, кто тут пытается косить за "экспертов".

3. Да.

Q]А теперь серьезно, куда это применить и как это поможет нам всем. Может кто переведет на русский в двух словах.[/Q]

Это - знание на замену той халтурки, кою шарлатаны десятки лет впаривали поколениям кабельных студентов.

А знаниие никогда лишним не бывает.

добавлено 12.11.2011 в 18:26

2-

Виноват, тут не прописались степени.
Потому, повторяю текст

Забудем пока о скрутке, чтобы применить к кабелям телеграфные уравнения. Пренебрежём и затуханием ( здесь это не принципиально).
Тогда входной импеданс разомкнутого на дальнем конце кабеля ( режим холостого хода – ХХ) может быть представлен в виде такого выражения:

Z = Z₀ / jtg(kД)

где
Z₀ = (L/C)^1/2
k = w (LC)^1/2 = 2 пи/Л – волновое число,

Если kД меньше 1 (точнее, 1.57) , можно записать:

tg(kД) = kД + (kД)SUP]3[/SUP]/3 + ...

или

Z = 1/ {j w CД [ 1 + (kД)²/3]}

это – импеданс "ёмкости"

CД [ 1 + (2 пи Д/Л)²/3 ]

Как видно, качественно эта "ёмкость" совпадает с оценкой из теории размерностей. Только там при (2 пи Д/Л)² был фактор 1. А в более точной теории ошибка получилась втрое меньше.

И ещё.
Во всех этих рассуждениях забывали о частотной зависимости диэлектрической постоянной изоляторов.
Но на самом деле это не так. Простейшая теория е ведёт к такой качественной зависимости (если пренебречь потерями):

e(f) = e(0)/[1– (f/F)²]

где e(0) – статическая постоянная, F – частота оптических и/или крутильных колебаний атомов и молекул изолятора ( типичное значение F = 10¹²... 10¹⁴ Гц ).
Это – диэлектрический резонанс.
Но если от него достаточно далеки, и f намного меньше F , то

e(f) = e(0)[1+ (f/F)²]

Так что е тоже растёт с частотой ( в оптике это называют нормальной дисперсией) .
Хотя, если резонанс F достаточно далёк, то пренебрежимо слабо.
Но вот при наличии в изоляторе тяжёлых включений (пыль, металл, наночастицы), F может оказаться опасно близким к рабочим частотам кабеля.

И за примером идти далеко не не надо. Так как величина

F₁ = V/(2Д)

– частота первого (полуволнового) резонанса кабеля. Так что получаем:

1 + (2 пи Д/Л)²/3
= 1 + (f/F₁)² пи²/3

И, если кабель рассматривать, как искусственный диэлектрик, то включение в него металлических жил не проходит безнаказанно: появляется спектр собственных полуволновых низкочастотных диэлектрических резонансов: F₁, F₂= 2 F₁ ...

А если совсем серьёзно, то пока аз, грешный, в Форуме, надо сюда выложить в более или менее доступной форме знания, которые накопил за годы занятий кабельной науке.

добавлено 13.11.2011 в 07:45

Нам не дано предугадать,
Как слово наше отзовется,-
И нам сочувствие дается,
Как нам дается благодать...
/Тютчев/

- это о ком?

И ещё важное примнение: уточнение степени деградации данного Форума.

Привет Е.М.
Мельком посмотрел твой креатифф...
Зерно истины тут, вроде как, есть.
Вот только,смоей торчки зрения, ты рассматриваешь, некоторые околопограничные состояния мало применимые в повседневной жизни.
Как геометрия Лобачевского и Эвклида, Лобачевский вроде точнее но малоприменим, Эвклид позволяет решать 99,99999999999999% настоящих задач.
Ну да ладно, это твой конь...

Лентяйщик, дело ваше, но в грамотном обществе ничего из того что здесь утверждает шерри говорить вслух не надо. Не ведитесь на наукообразие. А это именно оно. И мне на все что пишет Шеррий все равно, если бы не люди, которые могут не разобравшись или не имея возможности разобраться начнут проповедовать идеи не имеющие отношения ни к науке ни к реальности.

Шерри если Вы будете, постоянно писать свои опусы без перевода на русский язык, то я точно скоро деградирую, немного осталось. Давайте уж лучше про Ваш незаменимый прибор, там хоть интереснее и понятнее.

Не совсем так, Леньтяйщик.

Ты был бы прав, вслед за всеми не шибко грамотными "экспертами", кабы кабель и провод были просто такими длинноватыми медяшками в резинке.

Да и аз, грешный так подумывал, пока не занялся кабелями без дураков, по-научному, .
И обнарудил ,что кабель и даже просто провод - не длинная медяшка, железка или ляменька.
А нечто принципиально иное.
Это - такой длинный диэлектрик (изолятор), армированный хорошо проводящим металлом, играющем в нём нкеую воспомгаатьелньу роль.

А главное "действующее лицо" в кабеле - изолятор.
По нему распространяется электромагнитная волна, по нему идёт передача и энергии, и информации.

Собственно говоря, кабель не что иное, как искусственный (композитный) диэлектрик.
Свойства которого могут радикально отличаться от свойств входящих в его состав изоляторов и металлов.

Вот, пожалуй, в общих чертах то, что я уже не один год пытаюсь внушить кабельному сообществу.

А что касается данной темы, то когда кабель пытаются характеризовать "погонной ёмкостью", или "погонной индуктивностью", то это - элементарная безграмотность.

По той простой причине, что такие электростатические и магнитостатические штучки в принципе не приложимы к объектам с распределёнными параметрами.

И это - вовсе не Эйнштейн или Лобачевский.
Тут всё проще и приземлённее.
Пока кбельщики не осознают реальные, а не книжно-фантастические свойства кабелей. Пока продолжают тупо пережёвывать ещё полвека назад сопревшую солому, прогресс в их деле так и останется, мягко говоря, проблематичным.
И будет требовать всё более и более серьёзных затрат.

Типичный пример - то, что сейчас творится в кабелях категории 8 ( класс FA на частооту 1 ГГц и повыше).
Там как влепились в стенку лбом лет 6-7 назад, так и бодаются до сих пор.

А причина в том, что какие-то ..., виноват, "эксперты" с очень-очень умным видом понаписали где ни попадя, всякой чепухи на предмет "согласования" шагов скруток пар ЛАН-кабелей.

Позвольте поинтересоваться о следующем.
Итак, я инженегр-практик (это не ошибка, в смысле не то, что я практик, а то, что негр) привык иметь дело в вдолбленным в меня понятием погонной емкости, которая растет по мере увеличения длины и не зависит от частоты. Допустим, что это не так, т.е. оная емкость растет по длине как-то криво (нелинейно), зависит от частоты, да еще и наблюдаются нехорошие резонансные или иные им подобные хотя бы внешне явления.
Наверное в этой ситуации д.б. так:
есть новая теория, которая все это дело учитывает и генерит из себя ряд инженерных формул. В пределе эти инженерные формулы переходят в то, что было известно раньше. Т.е. м.б. представлены в виде суммы (произведения) того, что было раньше и того, чем раньше пренебрегали.
Можно воспроизвести все представленные выше словеса в такой форме?